Yunanca Mechanica adlı, Aristo'ya ait
olduğu şüpheli bir kitapta şu paradokstan söz edilir:
Şekildeki farklı yarıçaplı eşmerkezli daireleri
göz önüne alın (tekerlek ve jant gibi). Büyük dairenin üzerindeki
her nokta ile küçük dairenin üzerindeki her nokta arasında bire
bir tekabül bulunur. O halde büyük daire ne kadar yol aldıysa
küçük daire de aynı miktarda yol almalıdır. Şekildeki yatay iki
çizgi bir tam tur sonra alınan yolu göstermektedir. Büyük dairenin
yarıçapı r1, küçük dairenin yarıçapı r2 ise
büyük dairenin çevresi 2.p.r1,
küçük dairenin çevresi 2.p.r2
olur. Çizgilerin boyları eşit olduğuna göre dairelerin çevreleri
eşit ve dolayısıyla r1 = r2 olmalıdır.
Matematiksel olarak buradaki hata, iki çizgi
üzerindeki noktaların bire bir tekabülünün iki eğrinin de eşit
uzunlukta olmasını gerektirdiğini kabul etmekte yatıyor. Aslında
herhangi bir uzunluktaki bir doğru parçasındaki noktaların
hepsinin kardinaliteleri aynıdır (À1).
İster sonsuz uzunlukta bir doğru, ister bir düzlem, ister 3
boyutlu bir uzay, isterse sonsuz boyutlu bir Öklid uzayı olsun
yine fark etmez. Bunlardan herhangi birindeki noktalar diğerindeki
noktalara bire bir tekabül eder; ancak bu, iki çizginin boylarının
eşit olması demek değildir.
Fiziksel olarak, tren tekerleklerine benzeyen
ve her iki dairesi de rayın üzerinde dönebilecek biçimde
düzenlenen bir tekerlek iki sonuçtan birini verir:
-
tekerlek kesinlikle döndürülemez, veya
-
dairelerden biri aynı yolun bir kısmında
kayar.
|